2012工程数学建模选拔赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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日期：
2012年 05 月 27 日 2012工程数学建模选拔赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
道路减速器 摘要 经过分析我们建立了模型，模型一我们考虑了汽车通过减速带时上下振动的时间与通过减速带的速度的关系，得出最小临界速度的公式：；
；
通过MATLAB作图求出上下振动时间和速度的最优组合。
模型二我们考虑了在设置减速带前后，单位时间内某段路程通过的车辆数的变化情况，并建立两者的函数关系，以此来衡量减速带所起的效果。最终通过作图比较得出最优解 模型二我们引进了车密度的概念，考虑了在设置减速带前后，减速带间公路段的车密度，并建立两者的函数关系，以此来衡量减速带所起的效果。最终通过作图与分析得出最优解。
模型三我们考虑对时间的优化，建立了减速带间距离与车辆经过减速区域时间的函数关系，并继续用减速系数为来衡量减速效果。最终通过作图可得出最优解。
关键字：简谐振动 周期 临界速度 车密度 减速系数 一、问题的提出 1.1问题背景 车祸，是一个让人望而生畏听之胆寒的名词，可就在日益发展的今天，车祸发生的频率却只增不减，尤其是在学校周边、单位门口、社区等车流量较高的路段，交通安全隐患日渐突出，造成人人自危的局面。为了保证人们在这些车流量较高路段的人身安全，需要对车速进行强制性限制，以提高司机们的安全意识。
为此，道路减速带应运而生，它作为限制机动车垂直行驶速度的措施之一，对交通事故的遏制起到了非常重要的作用。但是由于减速带一直缺乏合理科学的安置，在安全、舒适、方便等方面仍未达到要求。因此，对于道路减速带的合理科学的安置，是非常重要也是亟待解决的问题。
1.2问题重述 某单位的办公场所地处一主干道边上，主干道上车流量较大，车速达到平均每小时60公里，对人员的进出造成了一定的威胁。交警部门打算在该路段路面设置减速带，达到使来往车辆减速的目的。
（1）建立道路减速带减速的数学模型；
（2）利用所建的数学模型分析在等距连续设置三道减速带的减速效果；
（3）利用所建的数学模型给出减速效果最优的三道减速带的设置方案；
（4）给交警部门写一封建议信。
二、模型假设 1、假设汽车通过道路减速带的时间极短，可认为是匀速运动 2、假设空气阻力，天气情况，汽车内部摩擦力都不影响车速 3、假设减速带表面是连续均匀的圆弧形 4、假设司机懂得交通规则并取得驾驶执照 5、假设无减速带时所有车辆均以速度行驶，行驶在该公路上的车密度为q。
6、假设公路上的车是以一定的间距均匀连续的的行驶在公路上的。
三、相关概念的定义及符号说明 1、相关概念的定义 1．道路减速带的减速原理：道路减速带的减速是通过影响驾驶员的驾驶心理实现的。当车辆以较高速度进入道路减速带时,剧烈的振动会从轮胎经车身及座椅传递给驾驶员,使驾驶员产生强烈的生理刺激(包括振动刺激和视觉刺激)和心理刺激,从而促使驾驶员主动减速,使车辆以较低的速度通过道路减速带。
车密度 假设一天内通过长为S的一段公路上的总车辆数为N，一天内公路上有的车的时长为T，则代为时间内公路上的平均车辆数为，单位时间内则K辆车分布在长为S的公路上，由于每辆车的车的初始位置不一样，车速也不一样，故车在公路上不均匀分布，且车又是移动体，故单位时间内单位长度公路上的车辆数与车速有关，且还和路上的总车辆数有关，现将其当做流动体来研究的，根据相关知识，建立车密度的计算方法为+B 其中单位时间内单位长 度公路上的行驶的车的平均速度。A、B为相关系数有实验测得。
2、符号说明 G ----------------------------------------- 车子的重量 N ----------------------------------------- 减速带对车子的支撑力 g ----------------------------------------- 重力加速度 m ----------------------------------------- 车子的质量 ----------------------------------------- 车辆经过减速带的最小临界速度 r ----------------------------------------- 所选减速带半径 R ----------------------------------------- 轮胎半径 a ----------------------------------------- 减速带最高点距地面的垂直距离 b ----------------------------------------- 减速带所跨越的水平距离 q ----------------------------------------- 车密度 ----------------------------------------- 公路上平均车速度 V----------------------------------------- 通过减速带的临界速度 ---------------------------------------车在第一二减速带间的最大速度 ---------------------------------------车在第二三减速带间的最大速度 四、问题分析 问题一，车子驶过减速带时会上下振动，如果速度过快，会导致振动周期变短，上下振动加速度变大，即车里的人员也会感觉越颠簸，舒适度越低同时，减速带减速的效果也得不到有效的体现；
如果驶过减速带的速度过慢，则会导致交通堵塞，也会耽误人们的时间；
因此我们需要找出一个最小速度临界值，使得车辆经过减速带时上下振动周期加长即车里人员舒适度增加，又能保证交通的顺畅。为此，我们得出了车辆经过减速带时上下振动周期T与行使速度的关系式，从而得出T与的最优组合。
问题二，主要考虑的是两条减速带之间的距离，这个距离，它不能太长也不能太短。因为，若它太长，车辆经过一条减速带后，又能加速到达原来的速度，这就失去了减速带的作用了。其次，他又不能太短，太短，车辆在这一区间就不会加速，减速带也不能充分发挥出它的功能。我们主要考虑它的最优距离 问题三，在几条减速带控制的区域，既要求车辆将速度降下来，又要求汽车较快离开减速区，因为汽车在减速带停留时间过长很容易造成堵车。所以我们应该控制汽车在减速带间形式的时间。
五、模型的建立与求解 问题一：
模型一：
当汽车通过减速带时，需要完成几次上下振动，由于近似于简谐振动，故我们把其振动当成简谐运动来分析。车子速度大，通过减速带的时间短，车子需在更短的时间里完成振动，即振动周期小，上下振动的加速度大，车里的人也会感觉越颠簸，车里的人员也会感觉越不舒服。
先初步设振动周期与速度的关系为：
（1）
通过matlab软件求得，当min等于0时，振动周期最长，但是从结果我们不难看出，如果速度过小，虽然振动周期会增大，车里人员的舒适度也会增加，但是会对交通造成阻塞，对交通效率也会有很大影响，所以速度应该有一个最小临界值min使得车子振动周期趋于合理值，且能保证车里人员又有一定的舒适度。
经过分析可得，当车子经过减速带，轮胎与其最高点将要脱离而未脱离时的车速，对交通效率和振动周期综合影响最好，所以此时的车速即为最小临界值min。
轮胎在最高点时受力情况如图所示：
则 有：
即 （1）
不难得出，N值越小越好，即：
取得最小临界值min时应有N=0，则有 （2）
所以可得汽车通过道路减速带时轮胎不脱离的的最小临界速度为：
（3）
代入数据即可求得最小临界速度为：min =3.77m/s 问题二：
模型二 方案一：等距连续设置三道减速带，如下图 所有的汽车司机在距离起一条减速带30米处发现减速带并开始以加速度为a减速到临界速度v且恰好通过s1，其后以加速度b加速到原来的速度时发现第二条减速带s2,设整个过程中加速度a、b保持不变。其速度与时间的关系如图4。
t V 图5 时驾驶员踩下刹车；
时速度达到最小，此时正好经过减速带；
时又达到原来的速度。到的加速度为，到的加速度为。则到的距离S为：
（4）
由于减速，使单位时间内到达A1的车辆数减少，故S这段路内的车密度：+B （5）
平均速度：， 简化得：
+B （6）
若没有减速带，t1到t3内路段S上的车密度：+B。
很明显故减速带的减速作用使得这段度内行驶的车较少 由于为定值故为定值现令 设减速系数，=由此可知越小减速效果越好 若是这样，汽车在减速后还能有时间恢复到原来的速度，则汽车通过第二三条减速带的情况与通过第一条减速带的情况相同，则第二三条减速带只是延续第一条减速带的作用，为了更进一步的发挥第二三条减速带的作用，使其对车辆数起到了一个很好的限速作用，使路面上的车辆数得到改观应该缩短减速带之间的距离。
方案二：等距缩短距离后的情况见图6：
t V 图6 设在两条减速带之间汽车加速到时司机发现了第二条减速带并开始减速。
则t1到t7内路段S上的车密度: +B 若没有减速带t1到t7内路段S上的车密度，：
减速效果= （7）
由<V故< 此时两条减速带之间的距离为 （8）
将入得到关于的函数数关将代系式 （9）
由此可知是关于的二次函数，利用MATLAB作图，可求出的极值，对应的为最合适的减速带间距。
该模型说明了车速过大或过小时都会使减速带间车密度增加，这是符合实际的，车速过快时单位时间内通过减速带间的车辆数会增多，车速较慢时汽车在减速带间停留的时间过长，而减速带前端公路上汽车的车速依然很快，使得减速带间的汽车还为通过减速带时，又有新的汽车驶入减速带则减速带间的车辆数增多。唯有以一个合适的速度通过时才会最大的发挥减速带的作用，而减速带间的距离也是影响加减速效果的，减速带间的距离不能太远于不能太近，太远了，前面的减速带失去作用，太近了汽车不会加速，直接以临界速度通过第二条减速带，减速带的作用也就不能充分的发挥出来。
问题三：
模型三 由模型二可知，汽车在经过减速带是的速度是比较小的，使得使汽车在减速带间行驶的时间过长，这样就造成汽车在减速带间的流动太慢，对减速带前段公路易造成堵车，故应控制汽车通过减速带的时间。
设表示汽车通过一二两条减速带之间的距离的时间，表示汽车通过三四两条减速带之间的距离的时间，表示一二两条减速带之间的距离，表示二三两条减速带之间的距离。
则汽车经过一二两条减速带的时间= 汽车经过二三两条减速带的时间= 三条减带非等距设置则一二减速带间的最大车速与二三减速带间的最大车度不相等，若<则汽车在二三减速带行驶的时间过长，这样影响一二减速带间的车速不利汽车的疏通故>使二三减速带间的汽车迅速离开以至于不对一二减速带间的汽车造成障碍 由>得>，故> 则汽车经过减速带的速度-时间关系就如下图7所示：
t Vt V V2 V1 图7 到总时间：
（10）
将、代入总时间t得到t关于、的函数：
（11）
取t= 利用MATLAB即可作出图，找出最小点 关于这个条件我们提出质疑，两条减速带不能相隔的太近。如果太近司机不会加速，只是匀速的从第一个开到下一个，丧失了两条的作用。所以也存在一个。根据下表1：
减速区域内驾驶员的感受 % 程度 减速区域/m 50~40 40~30 30~20 20~10 10~0 不明显 100 82 33 14 0 明显 0 12 25 35 14 严重 0 6 42 51 86 表1 由上表可以看出驾驶员在接近驼峰式减速带30 m左右的距离时,开始造成疲劳、不舒适,尤其在最后通过的10 m内最为明显。
所以可取为10m。
同时由模型二可知，两减速带间不能相隔太远，存在一个 所以模型改变为…… 六、建议信 尊敬的交通警察：
你们辛苦了！ 随着社会的发展，人们的生活水平逐步提高，私家车的数量也越来越多，可与此同时，交通安全隐患也日渐扩大，尤其是在学校门口、单位门口等这些车流量较大的路段，为此，辛苦了你们，却也让很多人的性命堪忧。
现在有一办公场地刚好处在一主干道边上，主干道上车流量较大，车速达到每小时60公里的高速，对附近进出的人员造成了很大的安全困扰。希望你们在该路段安置几条减速带，强制性的限制车速，使人们的生命安全得以保障。为此经过讨论我们建立了安置减速带的数学模型，希望能给你们带来帮助。
我们的模型是在考虑到达到车子减速的目的的同时，也能使驾驶员们感到舒适和不为交通带来不便。减速带设置如下 S1 S2 S3 单 位 门 口 由模型得出S1与S2之间的距离为， S2与S3之间的距离为；
以此方案来设置减速带，能达到很好的减速效果。
七、模型的评价 模型一：由于车子在经过减速带时轮胎也会发生形变，而我们在处理时是把其当做刚体来分析的，应当在方程（1）中再引入一个参数来弥补车子轮胎变形量的影响。
模型二：该模型中引入了车密度的计算方法，该方法只是一理论式，与实际必然存在一定的差距，故该因素是决定模型是否准确的关键，应对该计算公式进行相应的修正，以使结果更佳准确。
模型三：该模型中对Smin,、Smax并未给出更加合理的值，故对模型的限制不够精确。
八、参考文献 [1]王超，史扬，陈永胜，公路设置驼峰式减速带的实际效用研究[J],山西建筑，第35卷第一期：2009年1月。
[2]韩艳，山程明，减速带减速原理及其应用[J],道路交通与安全，第9卷第6期：2009年12月。
[3]王超，孙小瑞，史扬，振动减速带的速度控制效果研究[J]，西部交通科技，第一期：2009年。
[4]黎熊，刘彩，邱望标，道路减速带形状对车辆平顺性影响的研究[J]，轮胎工业，第30卷：2010年。