习题课 古典概型的应用 类型1 古典概型的实际应用 【例1】 甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；
(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由． [解] (1) 方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12. (2)不公平．甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝，因为＜，所以此游戏不公平． 游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平． (2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较． 1．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率． [解] 由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P＝＝， 女顾客对该商场服务满意的概率P＝＝. 类型2 古典概型的综合应用 【例2】 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率． [解] (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，由18个样本点组成．由于每一个样本点被抽取的机会均等，因此这些样本点的发生是等可能的． 用M表示“A1恰被选中”这一事件，则 M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，事件M由6个样本点组成，因而P(M)＝＝. (2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件由3个样本点组成，所以P()＝＝，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝. 使用古典概型的概率计算公式的三个关键点 (1)审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算样本点总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键．(关键词：不重不漏) (2)编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，可以使问题得以简单地表示，这是解决古典概型问题时主要的解题技巧．(关键词：简单的数字和字母) (3)“正难则反”原则：在解决古典概型的概率问题时，如果从正面分解一个事件的情况比较多时，可以考虑利用它的对立事件的概率求解． 2．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________． [从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个样本点为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件表示“A1和B1全被选中”，由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P()＝＝，由对立事件的概率计算公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.] 类型3 概率与统计的综合应用问题 【例3】 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况． (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访． 员工 项目 A B C D E F 子女教育 〇 〇 × 〇 × 〇 继续教育 × × 〇 × 〇 〇 大病医疗 × × × 〇 × × 住房贷款利息 〇 〇 × × 〇 〇 住房租金 × × 〇 × × × 赡养老人 〇 〇 × × × 〇 ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率． [解] (1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10， 由于采用分层抽样从中抽取25位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人． (2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种． ②由表格知，符合题意的所有可能结果为 {A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种， 所以，事件M发生的概率P(M)＝. 1．在本例中，设N为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除都不相同”，求事件N发生的概率． [解] 法一：由例3的解答可知，事件N包含的结果为{A，C}，{B，C}，{C，D}，{D，E}，共4种， 所以P(N)＝. 法二：由例3的解答可知事件M和事件N为对立事件，所以 P(N)＝1－P(M)＝1－＝. 2．在本例中，施行个人所得税专项附加扣除后抽取的25人中平均少缴纳的税款和方差如下表：
老员工 中年员工 青年员工 少缴纳税款的平均数(单位：元) 400 500 300 方差 3 4 5 利用方差随机抽样所得的样本估计该公司所有员工少缴纳税款的平均数和方差． [解] 由例3的解答可知25位员工中，老、中、青员工的人数分别为6人，9人，10人， 所以该公司所有员工少缴纳税款的平均数为＝×400＋×500＋×300＝396(元)． 方差为s2＝[3＋(400－396)2]＋[4＋(500－396)2]＋[5＋(300－396)2]＝7 588.16， 所以估计该公司所有员工少缴纳税款的平均数和方差分别为396, 7 588.16. 解决古典概型交汇命题的方法 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举样本点，求出样本点和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 3．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按简单随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
视力 数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数 2 2 2 1 1 (1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；
(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率． [解] (1)高三(1)班8名学生视力的平均值为 ＝4.7， 故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7. (2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4，4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6，4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P＝＝. 1．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为( ) A． B． C． D． B [设“电话响第一声被接”为事件A，“电话响第二声被接”为事件B，“电话响第三声被接”为事件C，“电话响第四声被接”为事件D，则A，B，C，D两两互斥，从而P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝.] 2．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( ) A． B． C． D． C [小敏输入密码的可能结果有M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5，共15种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率P＝.故选C.] 3．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( ) A． B． C． D． A [因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中两人参加同一个小组的事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3个，所以两人参加同一个小组的概率为＝.故选A.] 4．(一题两空)甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏，假设两人都随机出拳，则平局的概率为________，甲不输的概率为________．
[甲、乙都是随机出拳，所以可以看成古典概型，而且样本空间中共包含9个样本点，样本空间可以用下图直观表示． 因为锤子赢剪刀，剪刀赢布，布赢锤子，因此若记事件A为“平局”，事件A包含3个样本点(图中的△)，因此P(A)＝＝；
记B表示“甲不输”，则B包含6个样本点(图中的△和※)，故P(B)＝＝.] 5．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________． [如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝＝.]
