初三数学教案：一元二次方程的应用
初一学过一元一次方程的应用，实际上是根据题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决，但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程。
教学内容：
新课一元二次方程应用的讲解。
教学时间：
一节课（2个小时）。
教学重难点：
重点：
会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
难点：
根据题意找重难点。
二、教学过程：
一：课堂引入：（5分钟左右）
提问复习引入：列方程解应用题的步骤?
审题 设未知数 列方程 解方程 作答
二：新知讲解
新知识点1（用时25分钟）增长率问题
假设第一年的产量是a，增长率为x，那么第二年为a（x+1），第三年为a（1+x）3，第n年为a（1+x）n-1
【注意】时间的表达常见的有月份，季度和年份等，需要注意是第几年还是几年总共的和。
例题1 某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，经过连续两次降价处理，现以64元销售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为______
解析：
设每次降价的百分率为x，第二次降价后变为100x-1）2元
100（x-1）2=64，（x-1）2=0.64，x1=1.8，x2=0.2；
x=1.8，不符题意（舍去）
故x=0.2
即每次降价的百分率为0.2，即20%
例题2 已知某公司一月份的收益为10万元，后引进先进设备，收益连续增长，到三月份统计共收益50万元，求二月，三月的平均增长率，设平均增长率为x，可得方程为（）
A.10（1+x）2=50 B.10（1+x）2=40
C.10（1+x）+10（1+x）2=50 D.10（1+x）+10（1+x）2=40
解析：D
易错点总结：这一部分题学生的问题在于会忽略题干中是第几年还是几年后。
新知识点2（用时40分钟）利润问题
利润问题中需要注意分析价格的变化如何引起销量的变化，从而影响总利润的变化，可以假设售价或是价格的变化为未知数，在不同的假设中，销量的表达会有所不同。在实际问题中，注意价格的变化范围是否有限制。
例题1
某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件 。
（1）填表：
每月的销售量（件 每件商品销售利润
降价前 60 80
降价后 _____ ______
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于
减少库存，则每件商品实际售价应定为多少元?
解析：（1）60+5x 80-x
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利
于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得
（360-x-280）（5x+60）=7200，解得:x1=8，x2=60
有利于减少库存，
x=60
答:要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有
利于减少库存，则每件商品应降价60元
例题2
商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。
（1）问商场经营该商品原来一天可获利润多少元?
（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应
为多少?
解析:
（1）若商店经营该商品不降价，则一天可获利润
100×（100-80）=2000（元）
（2）设后来该商品每件降价x元，
依题意得:（100-80-x）（100+10x）=2160，
整理得x2-10x+16=0，
解得x1=2，x2=8
当x=2时，售价为98元，
当x=8时，售价为92元
答:商店经营该商品一天要获利润2160元时，每件商品应售
价为98元或92元
易错点总结：1.画表格来表示价格的变化引起销量的变化
2.注意一些特殊字眼，比如说减少库存，吸引顾客之类的，用这些来取舍最后的两个值。
新知识点3（用时20分钟）面积问题
例题1 如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，经过几秒，四边形APQC的面积等于16cm2?
解析：
设经过x秒，四边形APQC的面积等于16cm2则
BP=6-x， BO=2x
以
×6×8-2×（6-x）×2x=16，即x2-6x+8=0
可得:x=2或4
即经过2秒或4秒时，四边形APQC的面积等于16cm2
故答案为:2秒或4秒
易错点总结：面积问题整体比较简单，需要注意的是勾画题干，理清条件。
新知识点4（用时15分钟）传染问题
例题1
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染
后就会有81台电脑被感染。
每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台?
解析：（1）设平均每台感染x台，可到1+x+（1+x）x=81
（1+x）2=81
x1=8，x2=-10（舍）
答:每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑.
（2）（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+8）3=729>700
∴被感染的电脑会超过700台
易错点总结：注意原始感染源是多少台以及是第几轮还是几轮之后。
新知识点5（10分钟左右）循环问题
握手问题和比赛问题是常见的单循环问题，总次数为
n （n-1）；
双循环问题中，总次数为n（n-1）.
例题1 某单位组织员工进行一次篮球邀请赛，要求参赛的每两个队之间都要进行一场比赛，由于场地和时间的限制，赛程计划安排5天，每天安排4场比赛，设有x个队参加比赛，则可列方程________
解析：
x（x-1）=5*4
易错点总结：区分是单循环还是双循环。常见的单循环有比赛，握手，双循环有互送礼物。
课堂总结（5分钟左右）：
1.协助孩子总结今天课堂所学新知识，并把每个易错点提出来再次给学生强调。
2.课后练习题的布置并和家长沟通好什么时间提交。
3.布置预习作业。
初三数学教案：几何基本图形再认识
一、知识概要：几何基本图形包括点，线，角，三角形，四边形，多边形，圆等，也包括，自己提炼出的重要基本图形，如：三线合一，直角三角形斜边中线模型，A型图（包括三角形中位线模型），X型图，双垂直模型等。
这些基本图形的性质、研究方法对其他较复杂问题的探究和解决都具有重要的导航作用。
二、关键内容：基本图形再认识，我们从三方面来理解：
1.从画图入手关注基本图形的生成过程；
2.抓住图形特征分解转化基本图形模型；
3.从得到的结论入手关注基本图形的推理过程。
教学过程（表格描述）
教学环节主要教学活动设置意图
引入一、知识概要
几何基本图形包括点，线，角，三角形，四边形，多边形，圆等，也包括自己提炼出的重要基本图形，如：三线八角，双垂直模型，一线三等角，由基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。所推导提炼出的特殊图形A型图和X型图，等。
从宏观上认识几何的学习源于基本图形的认识，源于对图形的性质、图形的变化以及图形与坐标中所呈现和生成的基本图形的认识和理解。
回顾几何基本图形包括哪些内容，知道这些基本图形的性质、研究方法对其他较复杂问题的探究和解决都具有重要的导航作用。
新课二、关键内容
从三个方面来理解：
1. 从画图入手关注基本图形的生成过程：
以线段的垂直平分线为例，它的画法
（1）经过线段中点作线段的垂线，就形成了线段的垂直平分线
（2）也可以尺规作图利用全等三角形（SSS）知识构造作出线段的垂直平分线
2. 抓住复杂图形特征分解转化出基本图形：
以角平分线，等腰△，平行线的组合为例：
（1）角平分线+等腰△→平行
（2）角平分线+平行→等腰△
（3）等腰△+平行→角平分线
3. 从得到的结论入手关注基本图形的推理过程。
以双垂直模型为例：
条件：两个垂直（∠ACB=∠CDB=90°）
结论：互余的角，相等的角，相似的三角形，边之间的数量关系：六条线段中知道其中两条，可以求出其他四条线段的长，简称知二求四。……
重点关注结论的推理过程，如证明
，除相似外还可以考虑三角函数
通过具体的例子说明几何基本图形从哪三个方面进行理解
重点关注基本图形的分解
例题二、典型例题
例1.如图，在Rt△DBC中，∠BDC=90°，∠CBD=30°，BC=4.
（1）CD=_____，BD=_______；
（2）将射线BD绕点B逆时针旋转30°，得到射线BN，再过点D作DA⊥BN于A，依题意补全图形并直接写出AB的值，AB=_______；
（3）若E为BC中点，连接AE交BD于F，求AE和DF的长.
解：（1）CD=2 ，BD=
（2）
（3）
【例1小结】
基本图形：
基本图形1 基本图形2
30°的Rt△ 直角三角形斜边中线模型
基本图形3 基本图形4
角分线+等腰三角形平 行类：X型图
→平行 （8字模型）
例2.如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长.
分析：
1. 首先标记图形
在△ACD中∠CAD=30°∠ADC=75°，
可得∠ACD=75°.
∴∠ACD=∠ADC，
∴ AC=AD
2.由BE=2ED，这两条线段的比是2:1，思考过这三个点作平行线，可以转化这个比例，作平行线一般构造A型图，或X型图.
3. 构造A型图：过E点可作EF∥AB，交AD于F.
4.关注基本图形：等腰三角形模型
5.作DF∥AB，得到并分解出基本图形30°角的直角三角形和X型图。
由图对应性质和所得到的数量关系
6. 利用等腰直角△ABC三边数量关系比1:1：
求解
【例2小结】
基本图形1：等腰三角形
等腰三角形1 等腰三角形2 等腰三角形3
基本图形2：
基本图形3：
30°角的直角三角形 45°角的直角三角形
基本图形4：
基本图形5：
A型图 X型图（也可称8字图）
方法归纳1：过线段的端点或截点作平行线，构造基本图形A型图或X型图.
方法归纳2：过点B，E，D 分别作平行线有6种方法，构造基本图形A型图或X型图.
例3.如图，按要求画图并解决问题：
1.如图，等边△ABC，以C为旋转中心，将线段CA顺时针旋转60°，得到线段CD，连接BD交AC于O.
2.猜想AC和BD的位置关系，并证明.
解决问题：
求证：AC垂直平分BD.
基本图形
等腰三角形性质 等边三角形 菱形的判定
三线合一 判定 和性质
3.已知点M在BC的延长线上，点N在直线AC上，且ND=NM.（画出一种即可）
难点1：思考如何画图?
线段垂直平分线模型
可能情况：
4.观察判断△MND的形状，并加以证明.
难点2：如何证明猜想?先从特殊情况猜想
再看一般情况
学习任务1：课下证明以下两种情况的图形
例3小结
1.关注画图的依据和过程
2.根据图形的生成，和问题的不断加深，分解出基本图形。
学习任务2：请大家从基本图形角度归纳本题的解题反思和小结
方法2：根据圆的定义构造辅助圆
关注含30度角的直角三角形这几何基本图形边角之间的关系
关注画图的过程
引导学生如何将问题进行了分解，如何把图形分解成了多个基本图形，进而解决问题
通过对本题所涉及到的基本图形的归纳小结，使学生更加深刻的体会到在解决问题的过程中几何基本图形的重要性
通过标记图形使问题更加直观化
引导学生如何通过已知条件以及对基本图形的认识，快速准确的找到解决问题的途径
通过小结归纳，进一步体会基本图形在解决问题中的重要作用
多种方法解决问题，更加深刻的认识几何基本图形
第一问关注图形的生成过程，得到基本图形
第二问为开放性问题，引导学生如何分析问题
关注图中的基本图形及基本图形的性质
引导学生通过画图的过程关注各种可能的情况，注意分类讨论
引导学生解决问题过程中先从特殊情况入手考虑问题，得到问题的结论后再探究一般性的问题的解决问题的方法
反思小结在思维上进行提升
引导学生思考将直线型问题与圆的知识相结合解决问题，体会圆与直线型之间的关系与转化
总结本节课的主题是基本图形再认识。
认识基本图形分三个层次：
1.识别图形：发现基本图形→能画基本图形→由文字、符号
或实物抽象出基本图形→从基本图形中识别基本元素及其关系。
2.分解图形：从综合图形中分解基本图形，提炼拆解图形并进行特征分析。
3.创新图形：在分析解决问题中构造基本图形，或类比迁移基本图形，
创造新的基本图形。
通过总结使思维上进一步得到提升
作业学习任务1：对于例2课下探究其他解决方法。（至少一种）
学习任务2：对于例3课下证明其他两种情况的图形。
学习任务3：对于例3请大家从基本图形角度归纳本题的解题反思和小结。
学习任务4：圆中的证明与计算。